sábado, 26 de noviembre de 2011

¿Doblando un papel podemos llegar a la Luna.....?.

Doblando un papel hasta la Luna y más allá
Con la ayuda de las Matemáticas, ¡¡lo vamos a conseguir!!. ¿Cuál es el grosor de una hoja de papel? mas o menos sobre 0,1 mm, que en notación científica y expresado en metros sería 10-4 metros*, con la primera doblez la anchura sería el doble 2 · 10-4, una segunda doblez, duplicaría la anterior 4 · 10-4, una tercera doblez, duplicaría la anterior 8 · 10-4, una cuarta doblez 16 · 10-4, una quinta doblez, 32 · 10-464 · 10-4128 · 10-4216 · 10-4,... Cada uno de estos número se obtiene multiplicando por 2 el anterior, así que esto es una progresión geométrica de razón 2 que podemos expresar con potencias de 2:
10-4, 2·10-4,  22 ·10-4,  23 ·10-4,  24 ·10-4,  25 ·10-4,  26 ·10-4,  27 ·10-4,...

Si llamamos n al número de veces que doblamos un papel, podemos conocer el tamaño que obtenemos al doblar n veces un papel aplicando la "fórmula":
ANCHURA=2n ·10-4metros
Tras catorce dobleces, la anchura sería: 214 ·10-4 = 16384 ·10-4=1,6384 metro, algo más de metro y medio,
Tras diecinueve dobleces, la anchura sería: 219 ·10-4 = 524288 ·10-4=524,288 metro, algo más de medio kilómetro
En la wikipedia podemos conocer la distancia promedio entre la Tierra y la Luna que es de 384.400 km  
con 42 dobleces sobrepasamos la Luna (439.804.65 km) y con 48 dobleces superamos la distancia media entre la Tierra y el Sol que es alrededor de 149.597.870 km y se conoce con el nombre de unidad astronómica (ua).



Curiosa actividad la que os he planteado con la que se puede trabajar con grandes números y su notación científica, los cambios de unidades, manejar la calculadora, trabajar las progresiones geométricas y con la que hemos dado rienda suelta a la imaginación.
*1 decímetro es 0.1 metros=10 -1 metro, 1 centímetro es 10 -2 metro, 1 milímetro es 10 -3 metro y una diezmilésima de metro es 10 -4 metro

Por Joaquín García
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UN SIMPLE PAPEL DOBLADO

el espesor de un papel común es más o menos un décimo de milímetro. Si uno lo dobla en dos, el grosor se duplica, y se volverá a duplicar cada vez que lo doblemos. Es difícil imaginarse con qué pasmosa velocidad aumentaría el espesor de papel silo siguiéramos doblando y doblando:


  • Con sólo 20 dobleces llegaría a tener cincuenta metros

  • Pero eso no es nada: con 28 dobleces superaría los 8800 metros de altura del monte Everest
 
 
 

  • y con 38 dobleces los doce mil kilómetros que mide el diámetro de la Tierra. 
 
 
 

  • Y eso tampoco es nada: si seguimos doblando el papel, después de 43 dobleces el espesor superaría los 380 mil kilómetros que nos separan de la Luna, 
 
 
 

  • y después de 52 dobleces, los ciento cincuenta millones de kilómetros que nos separan del Sol. 
 
 
 
  • Pero aun así, no estamos más que al principio: después de haberlo doblado 58 veces, el espesor del papel será superior al ancho del sistema solar (que es aproximadamente doce mil millones de kilómetros)
 
 
  • y con 70 dobleces llegaría más allá de Alfa Centauro, que es la estrella más cercana a la Tierra y que se encuentra a 4 años luz (un año luz, la distancia que la luz recorre en un año, equivale a diez millo­nes de millones de kilómetros). 
 
 
 
  • Con 86 dobleces el papel sería más ancho que nuestra galaxia y con 90 doblecesl alcanzaría Andrómeda, la galaxia más cer­cana a la Tierra y que se encuentra a dos millones de años luz. Con 100 dobleces, se encontraría a mitad de camino de los objetos más lejanos observados en el universo, a diez mil millones de años luz, 
 
  • con 101 más, sería más ancho que todo el universo conocido. 

 

Estos sorprendentes resultados se deben al rápido crecimiento de las progresiones geométricas (1, 2, 4, 8, 16, 32, etc.), que aumentan a una velocidad pas­mosa y anti intuitiva: hay una leyenda que vincula este fenómeno al origen del ajedrez. Según esta leyenda, cuando Sissa, el inventor hindú del gran juego, se lo presentó al rey y éste le preguntó qué quería como recompensa, Sissa pidió “algo muy simple: un grano de trigo en la primera casilla, dos en la segunda, cuatro en la tercera, ocho en la cuarta y así siguiendo hasta completar el tablero”. El rey se asombró por la modestia de Sissa, accedió inmediatamente, ordenó que trajeran un poco de trigo y se empezara a llenar las casillas. 

 


Podemos (o tal vez no podemos) imaginarnos la sorpresa del rey cuando comprobó que los granos se consumían con pasmosa rapidez y que todo el trigo del reino era insuficiente para satisfacer el pedido de Sissa. El rey había aprendido, al mismo tiempo que el ajedrez, el fantástico crecimiento de una progresión geométrica: los granos pedidos por Sissa crecen con la misma rapidez que el espesor del papel do­blado del que hablábamos al principio. 
 
Puede ser que a usted le parezca inverosímil, pero con un poco de paciencia puede convencerse: si no quiere arriesgarse a doblar noventa veces un papel y salirse de la galaxia, puede probar la “variante Sissa”. Consiga (o dibuje) un tablero de ajedrez (64 casillas) y reemplace los granos de trigo (difíciles de conseguir en nuestra cultura urbana) por granos de arroz, que para el caso es lo mismo. Verá que empezando con un grano en la primera y duplicando la cantidad de granos en cada casilla es insuficiente todo el arroz existente en el mundo para llenar el tablero. Y comprobará, de paso, que el arroz, para las progresiones geométricas, es mejor que el trigo; cuando le resulte imposible seguir (o simplemente cuando se canse o se aburra), puede usar el arroz para cocinarse una paella. 





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