miércoles, 30 de noviembre de 2011

Matemáticas Mágicas: El Misterio del número 6174.




Dado el número 6174,  si se reordenan los dígitos que lo componen de manera de formar el número más grande posible junto al número más pequeño que se pueda obtener, para luego restarlos, obtenemos:
7641 – 1467 = 6174
o sea llegamos al número con el cual comenzamos.
Ahora aplicamos el mismo procedimiento al número 4959, y obtenemos:
9954 – 4599 = 5355
paracería que no hay nada anormal en esto, aplicamos entonces el mismo procedimiento al número 5355 y así obtenemos:
5553 – 3555 = 1998
nuevamente nada que llame la atención, seguimos aplicando el mismo procedimiento a todos los resultados que vamos obteniendo en cada paso y llegamos a:
9981 – 1899 = 8082
8820 – 0288 = 8532
8532 – 2358 = 6174
El hecho es que no importa que número de cuatro cifras se utilice (cuyos dígitos no sean todos iguales – ejemplo 2222-) el procedimiento de reordenar los dígitos del número elegido de manera descendente y ascendente para luego restarlos, siempre se llega al númeto 6174, en no más de siete (7) pasos.
Referencia:
# Ingenuity in Mathematics – Ross Honsberger – Mathematical Association of America – 1970 – (Colección: New Mathematical Library N° 23) – pp 73.

LA LEYENDA DEL AJEDREZ.



Cuenta la leyenda que hace mucho tiempo reinaba en cierta parte de la India un rey llamado Sheram. En una de las batallas en las que participó su ejército perdió a su hijo, y eso le dejó profundamente consternado. Nada de lo que le ofrecían sus súbditos lograba alegrarle.

Un buen día un tal Sissa se presentó en su corte y pidió audiencia. El rey la aceptó y Sissa le presentó un juego que, aseguró, conseguiría divertirle y alegrarle de nuevo: el ajedrez.
Después de explicarle las reglas y entregarle un tablero con sus piezas el rey comenzó a jugar y se sintió maravillado: jugó y jugó y su pena desapareció en gran parte. Sissa lo había conseguido.
Sheram, agradecido por tan preciado regalo, le dijo a Sissa que como recompensa pidiera lo que deseara. Éste rechazó esa recompensa, pero el rey insistió y Sissa pidió lo siguiente:
Deseo que ponga un grano de trigo en el primer cuadro del tablero, dos, en el segundo, cuatro en el tercero, y así sucesivamente, doblando el número de granos en cada cuadro, y que me entregue la cantidad de granos de trigo resultante.
El rey se sorprendió bastante con la petición creyendo que era una recompensa demasiado pequeña para tan importante regalo y aceptó. Mandó a los calculistas más expertos de la corte que calcularan la cantidad exacta de granos de trigo que había pedido Sissa, es decir:
1 + 2 + 4 + 8 + … + 262 + 263
Cuál fue su sorpresa cuando éstos le comunicaron que no podía entregar esa cantidad de trigo ya que ascendía a:

18.446.744.073.709.551.615 granos de trigo

El rey se quedó de piedra. Pero en ese momento Sissa renunció al presente. Tenía suficiente con haber conseguido que el rey volviera a estar feliz y además les había dado una lección matemática que no se esperaban.
Esta leyenda es bastante conocida. Seguro que muchos de vosotros sabíais de su existencia. Pero hay una variante que serviría para que la lección matemática se la llevara el listillo de Sissa:
Supongamos que el rey al pensar que la petición de Sissa era irrisoria le hubiese ofrecido granos de trigo en esa progresión pero hasta el infinito, es decir:
1 + 2 + 4 + 8 + … + 262 + 263 + 264 + …
Veamos qué hubiera pasado:
Llamemos S a la cantidad cantidad de granos de trigo que recibiría Sissa, es decir:
S = 1 + 2 + 4 + 8 + … + 262 + 263 + 264 + …
Ahora operemos de la siguiente forma:
S = 1 + (2 + 4 + 8 + … + 262 + 263 + 264 + …) = 1 + 2·(1 + 2 + 4 + 8 + … + 262 + 263 + 264 + …)
Es decir, sacamos factor común 2 de la parte de la suma que teníamos entre paréntesis. Pero como podemos observar lo que nos ha quedado entre paréntesis es exactamente igual a S. Esto es:
S = 1 + 2·S —> (Despejando) —> S = -1
Por tanto la generosidad infinita del rey se ve recompensada: no solamente no debe pagar nada a Sissa sino que éste le debe entregar un grano de trigo.

El fallo de este razonamiento es muy sencillo (para alguien que esté algo familiarizado con estos temas claro ). A ver quién lo encuentra primero.
Solución aquí, con tinta invisible:


EL ERROR ESTÁ EN QUE NO PODEMOS APLICAR ALEGREMENTE, A LAS SUMAS INFINITAS, LAS PROPIEDADES DE LA ARITMÉTICA FINITA EL ERROR ESTÁ EN QUE NO PODEMOS APLICAR ALEGREMENTE, A LAS SUMAS INFINITAS, LAS PROPIEDADES DE LA ARITMÉTICA FINITA

lunes, 28 de noviembre de 2011

Truco matemático: ¿demostramos que 2 es igual a 1?


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2 = 1
Hay muchos juegos matemáticos que, ocultando un error en su proceso, terminan en 1 = 0, 2 = 1 o resultados parecidos. Suelen ser bastante sencillos de resolver ya que generalmente el error que se produce es un error de cálculo intencionado que, aunque está oculto, se puede ver con relativa facilidad. Pero este no es el caso. Vamos a ver quién es capaz de explicar dónde está el error:


Veamos una ecuación sencilla para "comprobar" que 1=2:
  • Establecemos que a = b
  • Multiplicamos ambos lados por b:
ab = b2
  • Sumamos b2 en ambos lados:
ab + b2 = 2b2
  • Restamos 2ab:
b2 − ab = 2b2 − 2ab
  • Sacamos factor comun:
1(b2 − ab) = 2(b2 − ab)
  • Dividimos (b2 − ab) a ambos lados:
1 = 2
Esto nos da una prueba irrefutable de que 1=2. Pero algunos alumnos  estudiosos dicen que esta demostración no es válida, dado que dividimos por 0 al dividir por (b2 − ab). Y es verdad.

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Existe una opinión muy generalizada según la cuál la matemática es la ciencia más difícil cuando en realidad es la más simple de todas. La causa de esta paradoja reside en el hecho de que, precisamente por su simplicidad, los razonamientos matemáticos equivocados quedan a la vista. En una compleja cuestión de política o arte, hay tantos factores en juego y tantos desconocidos o inaparentes, que es muy difícil distinguir lo verdadero de lo falso. El resultado es que cualquier tonto se cree en condiciones de discutir sobre política o arte -y en verdad lo hace- mientras mira la matemática desde una respetuosa distancia",
Ernesto Sábato, "Uno y el Universo", 1945.
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sábado, 26 de noviembre de 2011

UNA MANERA CURIOSA DE MULTIPLICAR

Aqui  tienes  un video donde se muestra un  procedimiento de multiplicación muy creativo desarrollado por la cultura Maya






EN ESTA ANIMACIÓN FLASH TIENES UNA INTERESANTE EXPLICACIÓN 







Nota: Si en la multiplicación aparecen ceros haremos lo que indica el dibujo siguiente.













¿Doblando un papel podemos llegar a la Luna.....?.

Doblando un papel hasta la Luna y más allá
Con la ayuda de las Matemáticas, ¡¡lo vamos a conseguir!!. ¿Cuál es el grosor de una hoja de papel? mas o menos sobre 0,1 mm, que en notación científica y expresado en metros sería 10-4 metros*, con la primera doblez la anchura sería el doble 2 · 10-4, una segunda doblez, duplicaría la anterior 4 · 10-4, una tercera doblez, duplicaría la anterior 8 · 10-4, una cuarta doblez 16 · 10-4, una quinta doblez, 32 · 10-464 · 10-4128 · 10-4216 · 10-4,... Cada uno de estos número se obtiene multiplicando por 2 el anterior, así que esto es una progresión geométrica de razón 2 que podemos expresar con potencias de 2:
10-4, 2·10-4,  22 ·10-4,  23 ·10-4,  24 ·10-4,  25 ·10-4,  26 ·10-4,  27 ·10-4,...

Si llamamos n al número de veces que doblamos un papel, podemos conocer el tamaño que obtenemos al doblar n veces un papel aplicando la "fórmula":
ANCHURA=2n ·10-4metros
Tras catorce dobleces, la anchura sería: 214 ·10-4 = 16384 ·10-4=1,6384 metro, algo más de metro y medio,
Tras diecinueve dobleces, la anchura sería: 219 ·10-4 = 524288 ·10-4=524,288 metro, algo más de medio kilómetro
En la wikipedia podemos conocer la distancia promedio entre la Tierra y la Luna que es de 384.400 km  
con 42 dobleces sobrepasamos la Luna (439.804.65 km) y con 48 dobleces superamos la distancia media entre la Tierra y el Sol que es alrededor de 149.597.870 km y se conoce con el nombre de unidad astronómica (ua).



Curiosa actividad la que os he planteado con la que se puede trabajar con grandes números y su notación científica, los cambios de unidades, manejar la calculadora, trabajar las progresiones geométricas y con la que hemos dado rienda suelta a la imaginación.
*1 decímetro es 0.1 metros=10 -1 metro, 1 centímetro es 10 -2 metro, 1 milímetro es 10 -3 metro y una diezmilésima de metro es 10 -4 metro

Por Joaquín García
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UN SIMPLE PAPEL DOBLADO

el espesor de un papel común es más o menos un décimo de milímetro. Si uno lo dobla en dos, el grosor se duplica, y se volverá a duplicar cada vez que lo doblemos. Es difícil imaginarse con qué pasmosa velocidad aumentaría el espesor de papel silo siguiéramos doblando y doblando:


  • Con sólo 20 dobleces llegaría a tener cincuenta metros

  • Pero eso no es nada: con 28 dobleces superaría los 8800 metros de altura del monte Everest
 
 
 

  • y con 38 dobleces los doce mil kilómetros que mide el diámetro de la Tierra. 
 
 
 

  • Y eso tampoco es nada: si seguimos doblando el papel, después de 43 dobleces el espesor superaría los 380 mil kilómetros que nos separan de la Luna, 
 
 
 

  • y después de 52 dobleces, los ciento cincuenta millones de kilómetros que nos separan del Sol. 
 
 
 
  • Pero aun así, no estamos más que al principio: después de haberlo doblado 58 veces, el espesor del papel será superior al ancho del sistema solar (que es aproximadamente doce mil millones de kilómetros)
 
 
  • y con 70 dobleces llegaría más allá de Alfa Centauro, que es la estrella más cercana a la Tierra y que se encuentra a 4 años luz (un año luz, la distancia que la luz recorre en un año, equivale a diez millo­nes de millones de kilómetros). 
 
 
 
  • Con 86 dobleces el papel sería más ancho que nuestra galaxia y con 90 doblecesl alcanzaría Andrómeda, la galaxia más cer­cana a la Tierra y que se encuentra a dos millones de años luz. Con 100 dobleces, se encontraría a mitad de camino de los objetos más lejanos observados en el universo, a diez mil millones de años luz, 
 
  • con 101 más, sería más ancho que todo el universo conocido. 

 

Estos sorprendentes resultados se deben al rápido crecimiento de las progresiones geométricas (1, 2, 4, 8, 16, 32, etc.), que aumentan a una velocidad pas­mosa y anti intuitiva: hay una leyenda que vincula este fenómeno al origen del ajedrez. Según esta leyenda, cuando Sissa, el inventor hindú del gran juego, se lo presentó al rey y éste le preguntó qué quería como recompensa, Sissa pidió “algo muy simple: un grano de trigo en la primera casilla, dos en la segunda, cuatro en la tercera, ocho en la cuarta y así siguiendo hasta completar el tablero”. El rey se asombró por la modestia de Sissa, accedió inmediatamente, ordenó que trajeran un poco de trigo y se empezara a llenar las casillas. 

 


Podemos (o tal vez no podemos) imaginarnos la sorpresa del rey cuando comprobó que los granos se consumían con pasmosa rapidez y que todo el trigo del reino era insuficiente para satisfacer el pedido de Sissa. El rey había aprendido, al mismo tiempo que el ajedrez, el fantástico crecimiento de una progresión geométrica: los granos pedidos por Sissa crecen con la misma rapidez que el espesor del papel do­blado del que hablábamos al principio. 
 
Puede ser que a usted le parezca inverosímil, pero con un poco de paciencia puede convencerse: si no quiere arriesgarse a doblar noventa veces un papel y salirse de la galaxia, puede probar la “variante Sissa”. Consiga (o dibuje) un tablero de ajedrez (64 casillas) y reemplace los granos de trigo (difíciles de conseguir en nuestra cultura urbana) por granos de arroz, que para el caso es lo mismo. Verá que empezando con un grano en la primera y duplicando la cantidad de granos en cada casilla es insuficiente todo el arroz existente en el mundo para llenar el tablero. Y comprobará, de paso, que el arroz, para las progresiones geométricas, es mejor que el trigo; cuando le resulte imposible seguir (o simplemente cuando se canse o se aburra), puede usar el arroz para cocinarse una paella. 





viernes, 25 de noviembre de 2011

TALLER CREATIVO 1

 En la siguiente suma cada símbolo representa un dígito diferente.



Fotografía matemática del Colegio Jesús María

Recogemos esta noticia  de nuestro Colegio  Jesús María de Burgos publicada en el año 2008. En ella se muestra un proyecto de gran creatividad conjunta entre la alumnas Eva  Marta  y su profesor Miguel Angel.


Fotografía matemática: primer premio INJUVE 2008



Publicado por Miguel Angel




Al fin encuentro un momento para hacer alguna actualización… y es que ya estaba impaciente por seguir poniendo noticias e informaciones, y sobre todo eventos tan importantes como los que hemos ¿provocado? con la fotografía matemática.



Los que habéis seguido el proyecto, habréis visto la gran cantidad de cosas que hemos hecho en torno al tema de la fotografía matemática.



Uno de los primeros elementos que elaboramos fue la bitácora de “fotografía matemática”. Una pena que ya no permanezca en Internet, pero si alguien desea conocer su contenido, hemos guardado una copia aproximada de la bitácora, así que podríamos enviarla por CDrom al que la solicite.



Y seguro que recordaréis la revista que publicamos y que fue entregada junto con la revista escolar en junio del 2007, y además la enviamos a distintas asociaciones de matemáticos y universidades, recibiendo muy bonitas respuestas, y la invitación para la elaboración de algún artículo (boletín 77, “Sociedad Puig Adam de Profesores de Matemáticas”). Ha gustado tanto que se han agotado, pero si sigue siendo solicitada no estaría mal pensar en una nueva edición. Os dejo aquí el enlace a la revista en PDF.



Quizá esto nos animó a participar en distintos encuentros de jóvenes investigadores: con este proyecto participamos en el XXIII Encuentro de Jóvenes Investigadores, celebrado en Salamanca; y en la Xuntaza “Luís Freire” de Jóvenes Investigadores, celebrada en Gandarío, A Coruña.



Y entre un encuentro y otro, gestamos la idea del libro, que tras muchas vueltas conseguimos que viera la luz: “Una mirada diferente: fotografía matemática“.

Enlace para ver 


Tras esto, la presentación del libro en el Teatro Principal, y creo que importante destacar la repercusión que tuvo en todos los medios de comunicación: prensa, radio, televisión… al final os dejaré algunos de los enlaces en los que podemos ver algún artículo relacionado.

Entonces, decidimos presentar el proyecto, bajo el sencillo título “fotografía matemática”, al Certamen anual que convoca INJUVE, este año el “XXI Congreso de Jóvenes Investigadores“. Todos los trabajos presentados eran de una calidad extraordinaria… y quien nos iba a decir que obtendríamos ¡un primer premio!.

Miguel Angel, Eva y Marta en el XXI Congreso de Jóvenes Investigadores
En breve ampliaré este pequeño comentario … escribidnos si quereis ampliar información, de momento os dejo a continuación unos enlaces que me parece interesante que visitéis:
¡Y seguro que encontráis alguno más buscando en google!
Con más tiempo ampliaré esta información, de momento, recordad que podéis contactar para cualquier consulta. También selecctionaré algunas fotos para subir a la web del cole.
Dpto. TICC