jueves, 14 de junio de 2012

CÓMO CONSTRUIR CUADRADOS MÁGICOS


Sobre Los Cuadrados Mágicos

¿Qué valores serán los correctos?
En esta oportunidad estableceremos una regla para construir arreglos rectangulares numéricos. En particular de aquellos  arreglos en los cuales el  número de filas es igual al número de columnas y   a su vez la suma de los elementos de cualquier fila, columna y diagonal (principal y secundaria)  es el mismo.  Dichos arreglos serán denominados  “Cuadrados Mágicos”, citamos un ejemplo para ser más específicos:
Cuadrado Mágico de 3x3
Arreglo rectangular de 3 filas y 3 columnas



SOBRE EL AUTOR DEL MÉTODO
El Matemático Indio Srinivasa Ramanujan (1887 – 1920) fué un personaje de un talento excepcional, quien mientras se encontraba en su país  nunca dispuso de un libro de matemática avanzada a su alcance y sin embargo los resultados que anotaba en su “cuaderno formulario” eran realmente sorprendentes.
Ramanujan fue llevado a la Universidad de Cambridge – Inglaterra – gracias al interés mostrado por el Matemático Ingles G.H. Hardy, quien a raíz de una carta mandada por Ramanujan (en la cual mostraba una serie de fórmulas, muchas de ellas novedosas) decidió que  este recibiese el apoyo necesario para que pudiera continuar desarrollando su talento.
A la muerte de Ramanujan, G.H. Hardy decidió organizar las notas del “cuaderno formulario” para posteriormente ser publicados. El método que describiremos en esta ocasión está incluida en el primer tomo (de un total de 5) de la publicación.

DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO
Consideremos dos conjuntos finitos de números naturales:
A=\{a_1;a_2;\ldots;a_n\}
B=\{b_1;b_2;\ldots;b_n\}
Entonces el conjunto A+B posee n^{2} elementos. Ubicaremos cada uno de ellos en un arreglo rectangular de n\times n de tal forma que cada elemento aparezca una única vez en cada fila y columna, esta construcción nos dará un “Cuadrado Mágico”.

UN CASO PARTICULAR (3\times 3)
Consiremos los siguientes conjuntos numéricos:
A=\{a_1;a_2;a_3\}
B=\{b_1;b_2;b_3\}
Así:
A+B=\{a_1+b_1; a_1+b_2; a_1+b_3;
a_2+b_1; a_2+b_2; a_2+b_3;a_3+b_1; a_3+b_2; a_3+b_3\}
posee 9=3^{2} elementos, los cuales distribuimos en el siguiente esquema:
Esquema particular
El caso n=3 en el método de Ramanujan
Para que sea considerado un cuadrado mágico es necesario que a_1, a_2, a_3 y b_1, b_2, b_3 sean cada una progresiones aritméticas (P.A).
Veamos como funciona con valores numéricos:
A=\{6, 11, 16\}, sus elementos están en P.A de razón 5
B=\{2, 6, 10\}, sus elementos están en P.A de razón 4
Reemplazando en el esquema de 3\times 3:
El caso n=3
Ejemplo numérico del caso 3x3 aplicando el método de Ramanujan.
ALGUNAS OBSERVACIONES
Este método es tan versátil que podemos realizar “divertidas experiencias”, por ejemplo:
” Construir un cuadrado mágico (de 3×3) tal que la suma de sus filas, columnas y diagonales (principal y secundaria) sea 39 así como también todos sus elementos sean impares “
Solución:
A=\{2;6;10\}, sus elementos están en P.A de razón 4
B=\{1;7;13\}, sus elementos están en P.A de razón 6
Los elementos son escogidos de tal forma que sumados resulten 39 (claramente esta no es la única elección) y a su vez la suma dos a dos (a+b tal que a\in A \wedge b\in B) sean impares.
Luego:
Un caso especial
Restricción al caso de suma 39 y componentes impares.
RECOMENDACIONES
1.-  Intenta encontrar combinaciones de tal forma que puedas conjeturar casos posibles  y también aquellos imposibles.
2.-  Este método se puede extender para n\geqslant 3 ¿Podrias estimar alguno de esos casos?
3.-  Es posible formar rectángulos con la propiedad: la suma de sus filas y columnas poseen el mismo valor (no podemos decir lo mismo de las diagonales pues estas sólo existen en el caso de igual cantidad de filas y columnas)  ¿Podrías encontrar un ejemplo para el caso 3\times 4 ?
Autor: Moisés Samuel Toledo Julián.

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