martes, 3 de marzo de 2015

FRACTALES

Un fractal es un objeto cuya estructura se repite a diferentes escalas. Es decir, por mucho que nos acerquemos o alejemos del objeto, observaremos siempre la misma estructura. De hecho, somos incapaces de afirmar a qué distancia nos encontramos del objecto, ya que siempre lo veremos de la misma forma.


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 En la naturaleza encontramos muchas estructuras con geometría fractal, como por ejemplo, en el romanescu o en el helecho.

File:Fractal Broccoli.jpg

Fractal procede del adjetivo latino 'fractus', que significa interrumpido" o irregular. La geometría fractal es un lenguaje creado por Benoît Mandelbrot en 1975 para describir las formas complejas de la naturaleza, como nubes, sistemas montañosos, galaxias, flores, ramificaciones arboreas y bronquiales, rocas, cuencas hidrográficas, sistema neuronal, las líneas costeras, esponjas, objetos matemáticos como el conjunto de Cantor o el triángulo de Sierpinski, cuyo comportamiento caía fuera del marco de la Matemática tradicional.

Existen muchísimos fractales, ya que como veremos, son muy fáciles de construir. Los ejemplos más populares son el conjunto “Mandelbrot” o el triángulo “Sierpinski” y  la alfombra de Sierpinski , como veremos a continuación. La estrategia más sencilla para conseguir un fractal, es coger una figura y reproducirla en versiones más pequeñas.


Fractales de Sierpinski


            Waclaw Sierpinski fue un importante matemático polaco que dedicó una parte de sus investigaciones al estudio de distintas formas de fractales. Estas son las más importantes:


Triángulo de Sierpinski


            Este triángulo se construye partiendo de un triángulo simple. Después, se unen los puntos centrales de cada arista de modo que quede dividido en cuatro triángulos iguales. Con esto, a cada uno de los tres triángulos que quedan en la posición de los vértices del triángulo original se les aplica esta misma transformación sucesivamente:


            


            Su interpretación como L-sistema sería la siguiente:

            L-sistema: Triángulo de Sierpinski
            Axioma: FXF - - FF - - FF
            Reglas de producción: F è FF ; X è - - FXF ++ FXF ++ FXF - - ; + è + ; - è -
            Parámetro α: 60 grados


            ­­­La dimensión fractal de este triángulo se corresponde con el opuesto del límite cuando el número de iteraciones n tiende a infinito del cociente entre los logaritmos neperianos del número de triángulos negros y del tamaño del lado de cada uno de ellos en la n-ésima iteración. Este es el cálculo:

            nº triángulos negros = 3n

            tamaño del lado de los triángulos = 2-n

            dimensión fractal = - lim [nèinf.] ((ln 3n) / (ln 2-n)) = lg[2] 3 = 1’584962…


            Una propiedad muy llamativa del triángulo de Sierpinski es su conexión con el triángulo de Pascal. El triángulo de Pascal define de arriba abajo los coeficientes de cada uno de los términos del desarrollo de un binomio elevado a la potencia correspondiente a la profundidad del triángulo. Este es el triángulo hasta la sexta potencia:

*
*


            Ahora, superponiendo un triángulo de Sierpinski sobre el de Pascal (siendo los dos de igual tamaño) se puede comprobar que los triángulos negros de Sierpinski se corresponden exactamente con los números impares de Pascal, y los triángulos blancos se corresponden con pares, según esta figura.



            En el triángulo de la derecha aparecen los números del triángulo de Pascal y en el de la izquierda aparece el resultado del módulo 2 para cada uno de ellos.

            Además de esta coincidencia para la divisibilidad por 2, en general el triángulo de Pascal presenta unas formas muy concretas cuando se toma cada uno de sus números como una celda que se pinta de color blanco cuando el número al que corresponde es múltiplo de otro número concreto (por ejemplo 3, 5 o 9) o se pinta de negro cuando no es múltiplo. En todos estos casos el resultado, con variaciones en el tamaño o en la resolución obtenida, siempre presenta formas similares a uno o varios triángulos de Sierpinski. En el caso concreto de divisibilidad por números primos se puede demostrar que al hacer este coloreado siempre se obtiene un triángulo de Sierpinski.


            Esta versión en 2D del triángulo de Sierpinski es generalizable a una pirámide 3D, donde se usan pirámides de base cuadrada en lugar de triángulos como constructores (se suele llamar tetraedro de Sierpinski). El método de construcción es totalmente análogo al caso de 2D, cambiando la unidad de construcción, y al mismo tiempo que se construye cada uno de sus lados se corresponde con un triángulo de Sierpinski en 2D. Su dimensión fractal es 2’3219. Este es una imagen de su construcción:






Alfombra de Sierpinski


            Este fractal es similar al triángulo de Sierpinski, pero usando esta vez cuadrados para su definición. En su construcción se parte de un cuadrado negro, que se subdivide en nueve cuadrados iguales, de los cuales el que queda en el medio de todos se pinta de blanco y el resto se deja de color negro. Después se va repitiendo este procedimiento en sucesivas iteraciones para cada uno de los cuadrados negros que se hayan formado. Con esto se van obteniendo las figuras siguientes:



            Para calcular su dimensión fractal se usa el mismo cálculo que para el triángulo de Sierpinski. Las variaciones están en los parámetros:

            nº cuadrados negros = 8n

            tamaño del lado de los cuadrados blancos = 3-n

            dimensión fractal = - lim [nèinf.] ((ln 8n) / (ln 3-n)) = 1’89278926…


            Este fractal puede verse también como una generalización del conjunto de Cantor. En realidad, si se traza una línea horizontal (o vertical) que pase por el centro del cuadrado y se mira su evolución en las distintas etapas de construcción de la alfombra se obtiene exactamente el conjunto de Cantor.


            Además de esta visión 2D se puede hacer una generalización de esta construcción para 3D con un cubo (se suele llamar esponja de Sierpinski y Menger). La figura de la que se parte es un cubo, que se divide en 27 cubos más pequeños, de los cuales se eliminan los cubos centrales de cada una de las 6 caras y el cubo situado en el centro del cubo original. Este procedimiento se repite sucesivamente para cada cubo creado. Así, cada cara del cubo se ve como una alfombra de Sierpinski y se pueden obtener conjuntos de Cántor análogamente a como se hacía en 2D. La dimensión fractal de este cubo es 2’7268.





Pentágono, hexágono y octógono de Sierpinski


            Estas figuras tienen una construcción muy similar. En ellas se parte respectivamente de cinco pentágonos unidos, de seis hexágonos unidos y de ocho octógonos unidos respectivamente. Después, se van sustituyendo cada uno de los pentágonos, hexágonos y octógonos por una figura similar a la inicial, y después se realizan sustituciones sucesivas. Estos son ejemplos de estas construcciones:


èèè

            dimensión fractal del pentágono: 1’75647
èèè

            dimensión fractal del hexágono: 1’63093

èèè


            De los tres el que tiene unas propiedades más interesantes es el hexágono, ya que como se puede ver en las imágenes la parte central del fractal (y por extensión la de los otros hexágonos más pequeños) forman un copo de Koch, y del mismo modo los perímetros cada lado de un hexágono son curvas de Koch.

            También resulta interesante ver que el pentágono tuvo un precursor en 1525, cuando Alberto Durero, pintor holandés, describió en su libro “Manual del pintor” la forma de combinar pentágonos para hacer figuras de esta forma:



Curva de punta de flecha de Sierpinski


            Esta curva se define a partir de una curva equivalente a la mitad del perímetro de un hexágono a la que se le aplica esta transformación:

è

            Aplicando transformaciones análogas a cada uno de los segmentos similares al inicial que se pueden encontrar en la curva de la derecha se obtienen las siguientes figuras:

èèèèè

            Con esta evolución es fácil observar que esta curva da lugar, en el límite, al triángulo de Sierpinski. Su representación como L-sistema sería la siguiente:

            L-sistema: Curva de punta de flecha de Sierpinski
            Axioma: YF
            Reglas de producción: X è YF+XF+Y ; Y è XF-YF-X ; F è F ; + è +; - è -
            Parámetro α: 60 grados

 

Otras curvas de Sierpinski


            Además de la curva de punta de flecha a Sierpinski se le atribuyen estudios sobre otras curvas, como esta curva de relleno de un cuadrado:

èèèèèèèè


            Esta curva tiene la propiedad de que siempre es tangente a cuatro curvas de Cesaro definidas en el mismo cuadrado tal y como aparece en estas imágenes (la primera columna indica la curva de Cesaro y la segunda dicha curva con la curva de Sierpinski correspondiente):

   è        

   è        

    è        

     è        



            Otra curva similar a esta es la siguiente, también definida como de relleno de un cuadrado:



Tetraedro de Sierpinski con cañitas de refresco:
05 Triangulo de Sierpinski

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