¡Que levante la mano el que se acuerde de como hacer raíces cuadradas como en el colegio! Uyyyyyyyy, ¡qué pocas manos levantadas veo! Si es que, aparte de los profesores de colegio que se lo saben por tener que darlo año tras año, muy poca gente se acuerda. Ni siquiera los propios matemáticos.
Pero lo que es más, si le preguntamos a los que todavía se acuerdan de cómo hacerlas, ¿cuántos sabrán realmente por qué se hacen así? Muchos menos creo. Yo todavía me acuerdo de cuando en el cole me las explicaron, que parecía algo mágico. Muchos años después, cuando mi padre me comentó que mi abuelo sabía hacer raíces cúbicas traté de imaginarme qué método sería el que usaba para ello (desgraciadamente no podía preguntárselo directamente) y claro me di cuenta de que todavía no sabía cómo funcionaban las raíces cuadradas. Fue entonces cuando lo descubrí y vi cómo adaptar el método a raíces cúbicas.
Así que ahí vamos. ¡A explicaros lo que hacíamos en el cole y además el por qué! Venga, pongo una raíz ya desarrollada para empezar a refrescaros la memoria :D :
¿Os acordáis ya? Antes de empezar os doy una idea de lo que va a ser la clave en el método de resolución y luego continuo explicándolo con mucho detalle (quizá demasiado). Bien, pues la idea principal es esta igualdad:
(a+b)2=a2+b2+2ab.

Sí, esta es la clave. Lo que vamos a hacer en todo momento es tener ya el valor de aque va a ser un múltiplo de 10 y ver cuánto tiene que valer b que será un número de una cifra para que el cuadrado de a+b aproxime por debajo al número con el que trabajamos. En fin, vamos con el método. Lo primero que se hacía era:
Paso 1.- Separar las cifras de dos en dos de derecha a izquierda.
Así en nuestro caso caso la separación sería 3-47-92 (por ello en el dibujo hay una separación mayor ahí) y empezaríamos a trabajar con el 3. Continuamos.
Paso 2.- Buscar un número de una cifra que se aproxime por debajo lo máximo posible a la cifra o cifras de la izquierda.
En nuestro caso tras separar a la izquierda nos ha quedado un 3 así que para empezar cogeríamos el 1 ya que 1²=1 y 2²=4. Expliquemos lo que hemos hecho realmente hasta ahora.
Pues bien, lo que estamos haciendo aquí es buscar un número de la forma X00 que se quede por debajo (o sea igual) al número al que estamos haciendo la raíz. Observad que
X002=(X100)2=X210000.

Es decir, X00² va a tener 4 ceros al final y las cifras que salen de elevar X al cuadrado quedarán a la altura del número 3. Así que realmente de momento estamos buscando la mejor aproximación de 30000 (y de aquí uno puede ver ya por qué separamos las cifras de 2 en 2 y de derecha a izquierda).
Paso 3.- Restar a las cifras de la izquierda el cuadrado obtenido y bajar las dos siguientes cifras.
En nuestro caso 3-1=2 y bajamos 47, quedándonos ahora con 247. En realidad lo que hemos hecho ha sido restar al número inicial 100²=10000.Tenemos que ver ahora qué tenemos que añadir a 100 para acercarnos a nuestro número, es decir, tenemos que buscar qué 2 cifras acompañan al 1. Y con ello, al buscar la segunda cifra llegamos al paso más extraño.
Paso 4.- Cogemos el resultado que llevamos por ahora, lo ponemos en una casilla auxiliar, doblamos su valor, agregamos un hueco a su derecha, un símbolo de multiplicar y un hueco y buscamos ahora con qué cifra rellenar el hueco para acercarnos por debajo lo máximo posible al número obtenido en el paso 3.
Si no vemos el ejemplo, no se entiende lo dicho. En nuestro caso, por ahora el resultado era 1 así que lo doblamos y añadimos los huecos obteniendo una expresión de la forma 2_x_=  . Y tenemos que acercarnos a 247. Pues bien, 28x8=224 y 29x9=261 que se pasa. Por lo tanto el siguiente número con el que nos quedamos es con el 8 y lo subimos. ¿Qué estamos haciendo ahora?
Bien, lo que hemos hecho realmente es ver que 18 es la parte entera de la raíz cuadrada de 347, es decir, los dos primeros grupos del número inicial. ¿Cómo lo hemos hecho? Bueno, claramente el resultado será de 2 cifras y la primera tenía que ser 1 por lo hecho en el paso 2. Así que nuestro número será de la forma 1X (ojo, no 1 multiplicado por X sino un número de 2 cifras, la primera 1 y la segunda X, es decir 10+x. Y bien:
1X2=(10+X)2=100+20X+X2.

Fijaos en esta expresión. Tiene que acercarse lo máximo posible a 347 así que se la vamos a restar:
347(10+X)2=24720XX2.

¿Lo veis ya? Por un lado hemos restado 100 a 347 quedándonos 247 que es precisamente el número que estamos tratando de aproximar. Y ¿qué nos queda para aproximarlo? Pues la cantidad 20\cdot X+X^2 que podríamos escribirla como
20X+X2=(20+X)×X=2X×X.

Ojo, he dicho escribir, por 2X no quiero indicar un producto sino un número de 2 cifras, la primera un 2 y la segunda la x. Como ya hemos dicho, esta expresión es precisamente la que tendrá que aproximar lo mejor posible a 247. Y precisamente es lo que hacemos al resolver la raíz en este paso, salvo que donde sale la X, solíamos dejar un hueco para ir probando.
Paso 5.- Volver al paso 3, es decir, restar el número obtenido en el paso 4 al obtenido en el paso 3 y bajar 2 cifras. Luego seguiríamos con el paso 3 y así hasta terminar con todas las cifras.
En fin, ahora solo queda repetir. En el paso 4 nos había quedado 2392 y nos quedaba buscar la última cifra de 18X. Pues bien, de nuevo:
18X2=182100+360X+X2.

A las 3 primeras cifras le habíamos restado ya 18² que es lo mismo que restarle al total18^2\times 100 quedándonos 2392. Así que tenemos que aproximar 2392 por 360\cdot X+X^2que es la expresión 36_x_=... que escribimos en la última casilla rellenando el hueco con un 6.
Así que la raíz (la parte entera) de 34792 es 186, sobrándonos 196, es decir, 34792-186^2=196.
Cálculo de decimales.- Si quisiéramos calcular decimales, deberíamos de continuar con el mismo proceso bajando a partir de ahora 2 decimales (si el número no tiene decimales, pues bajando 00) y escribiendo las cifras que se vayan obteniendo en la parte decimal del número (a la derecha de la coma). Ojo, si el número ya tenía decimales, la división que se tenía que hacer inicialmente sería a partir de la coma que separa la parte entera de la decimal.
No voy a entretenerme ya explicando por qué sigue funcionando ya que la idea va a seguir siendo la misma. En cualquier caso, otra forma de ver esto último sería por ejemplo que hemos multiplicado el número inicial por 100 y como la raíz de 100 es 10 (y la raíz de un producto es el producto de raíces), el resultado final se vería multiplicado por 10 por lo que dividiendo este resultado entre 10, obtendríamos la raíz del original con un decimal. Y donde digo multiplicar por 100 y obtener un decimal, podría decir multiplicar varias veces por 100 y obtener varios decimales. Visto así también se ve claro por qué el método funciona también con decimales.
¿Os creéis ahora capaces de sacar el método para raíces cúbicas? Me refiero a sin calculadora, ¿eh? Quizá otro día lo cuente, pero creo que por hoy ya me he enrollado bastante.
Esta es mi segunda participación en la Edición 2.4 del Carnaval de Matemáticas, teniendo en esta ocasión de anfitriona a Carla con su blog seispalabras.